22. Постройте график функции $$y = \frac{5x-6}{5x^2-6x}$$ и определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение: Сначала упростим функцию: \[ y = \frac{5x-6}{5x^2-6x} = \frac{5x-6}{x(5x-6)} \] Если $$5x - 6
eq 0$$, то \[ y = \frac{1}{x} \] Значит, $$x
eq 0$$ и $$x
eq \frac{6}{5}$$ График функции $$y = \frac{1}{x}$$ с выколотой точкой в $$x = \frac{6}{5}$$. Теперь найдем y для этой выколотой точки: \[ y = \frac{1}{\frac{6}{5}} = \frac{5}{6} \] Точка $$\left(\frac{6}{5}, \frac{5}{6}\right)$$ - выколотая. Прямая $$y = kx$$ должна иметь с графиком ровно одну общую точку. 1. Прямая проходит через выколотую точку: \[ \frac{5}{6} = k \cdot \frac{6}{5} \] \[ k = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{36} \] 2. Прямая $$y = kx$$ является касательной к графику $$y = \frac{1}{x}$$. Уравнение: \[ kx = \frac{1}{x} \] \[ kx^2 = 1 \] \[ k = \frac{1}{x^2} \] Прямая $$y=kx$$ имеет только одну общую точку с графиком $$y = \frac{1}{x}$$ при k = 0. Ответ: $$\frac{25}{36}, 0$$