Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
1. Преобразуем функцию:
Функция определена при \( x \neq -2 \).
Рассмотрим два случая для \( |x+2| \) и \( |0.5x^2 + x| \).
Случай 1: \( x > -2 \)
Тогда \( |x+2| = x+2 \).
Выделим общий множитель в числителе: \( 0.5x^2 + x = x(0.5x + 1) = 0.5x(x+2) \).
Значит, \( |0.5x^2 + x| = |0.5x(x+2)| = |0.5x| \cdot |x+2| \).
Тогда \( y = \frac{|0.5x(x+2)|}{x+2} = \frac{|0.5x| \cdot |x+2|}{x+2} \).
Если \( x > -2 \), то \( x+2 > 0 \), значит \( |x+2| = x+2 \).
\( y = \frac{|0.5x| \cdot (x+2)}{x+2} = |0.5x| \).
Подслучай 1.1: \( x > -2 \) и \( 0.5x \geq 0 \) (т.е. \( x \geq 0 \))
\( y = 0.5x \) при \( x \geq 0 \).
Подслучай 1.2: \( x > -2 \) и \( 0.5x < 0 \) (т.е. \( -2 < x < 0 \))
\( y = -0.5x \) при \( -2 < x < 0 \).
Случай 2: \( x < -2 \)
Тогда \( |x+2| = -(x+2) \).
\( y = \frac{|0.5x(x+2)|}{-(x+2)} = \frac{|0.5x| \cdot |x+2|}{-(x+2)} = \frac{|0.5x| \cdot (-(x+2))}{-(x+2)} = -|0.5x| \).
Подслучай 2.1: \( x < -2 \) и \( 0.5x \geq 0 \) (невозможно, так как \( x < -2 \))
Подслучай 2.2: \( x < -2 \) и \( 0.5x < 0 \) (т.е. \( x < -2 \))
\( y = -(-0.5x) = 0.5x \) при \( x < -2 \).
Итак, функция принимает вид:
- \( y = 0.5x \) при \( x < -2 \)
- \( y = -0.5x \) при \( -2 < x < 0 \)
- \( y = 0.5x \) при \( x \geq 0 \)
2. Построение графика:
Это три луча.
- Луч 1: \( y = 0.5x \) для \( x < -2 \). Это часть прямой \( y = 0.5x \), начинающаяся от точки \( (-2, -1) \) (не включая её) и идущая влево вверх.
- Луч 2: \( y = -0.5x \) для \( -2 < x < 0 \). Это часть прямой \( y = -0.5x \), начинающаяся от точки \( (-2, 1) \) (не включая её) и идущая до точки \( (0, 0) \) (не включая её).
- Луч 3: \( y = 0.5x \) для \( x \geq 0 \). Это часть прямой \( y = 0.5x \), начинающаяся от точки \( (0, 0) \) (включая её) и идущая вправо вверх.
3. Определение значений \( m \), при которых прямая \( y = m \) не имеет общих точек с графиком.
График функции состоит из трёх лучей. Рассмотрим значения \( y \) на каждом луче:
- На луче \( y = 0.5x \) при \( x < -2 \), значения \( y \) уходят от \( -1 \) (не включая) в сторону \( -∞ \). То есть \( y < -1 \).
- На луче \( y = -0.5x \) при \( -2 < x < 0 \), значения \( y \) находятся в интервале \( (0, 1) \) (не включая \( 0 \) и \( 1 \)).
- На луче \( y = 0.5x \) при \( x \geq 0 \), значения \( y \) начинаются с \( 0 \) (включая) и уходят в сторону \( +∞ \). То есть \( y \geq 0 \).
Объединяя все возможные значения \( y \) (области значений): \( (-∞, -1) \cup [0, ∞) \).
Прямая \( y = m \) не будет иметь общих точек с графиком, если значение \( m \) не входит в область значений функции.
Исходя из области значений \( (-∞, -1) \cup [0, ∞) \), пропущены значения в интервале \( (-1, 0) \).
Ответ: \( m \in (-1, 0) \).
