24. Точка Е — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника АВЕ равна половине площади трапеции.

Доказательство:

Пусть \( AB = a \) — основание трапеции, \( CD = b \) — основание трапеции, \( h \) — высота трапеции.

Площадь трапеции \( S_{ABCD} = \frac{a+b}{2} h \).

Точка \( E \) — середина боковой стороны \( CD \).

Рассмотрим треугольник \( ABE \). Проведём высоту \( h_1 \) из точки \( E \) к прямой \( AB \) (или к её продолжению). Если опустить перпендикуляры из \( A \) и \( B \) на прямую \( CD \), то \( E \) будет серединой отрезка, соединяющего основания.

Представим, что мы продлим \( AB \) и \( CD \) до пересечения, но это не обязательно.

Способ 1: Через высоту и среднюю линию.

Средняя линия трапеции \( MN \) (где \( M \) на \( AD \), \( N \) на \( BC \)) равна \( \frac{a+b}{2} \). Высота трапеции \( h \).

Рассмотрим треугольник \( ABE \). Основание этого треугольника — \( AB = a \). Нужно найти высоту треугольника \( ABE \) к основанию \( AB \).

Проведём через точку \( E \) прямую, параллельную основаниям \( AB \) и \( CD \). Эта прямая будет серединой высоты трапеции.

Если \( E \) — середина \( CD \), и мы проведём высоту \( h \) трапеции, то расстояние от \( E \) до основания \( AB \) будет равно \( h \).

Более строго:

Пусть \( C = (x_C, y_C) \), \( D = (x_D, y_D) \). Тогда \( E = \left( \frac{x_C+x_D}{2}, \frac{y_C+y_D}{2} \right) \).

Пусть \( AB \) лежит на оси \( Ox \). Тогда \( A = (0, 0) \), \( B = (a, 0) \). Высота трапеции \( h \). Тогда \( C = (x_C, h) \), \( D = (x_D, h) \). Причём \( |x_C - x_D| = b \). Но для трапеции \( ABCD \) обычно \( CD \)