22 Постройте график функции y = (1/2) * (|x/4.5 - 4.5/x| + |x/4.5 + 4.5/x|). Определите, при каких значениях т прямая y = т имеет с графиком ровно одну общую точку.

Привет! Давай построим этот график и найдем нужные значения t.

Сначала упростим выражение для функции:

\[ y = \frac{1}{2} \left( \left| \frac{x}{4.5} - \frac{4.5}{x} \right| + \left| \frac{x}{4.5} + \frac{4.5}{x} \right| \right) \]

Заметим, что $$\frac{4.5}{x} = \frac{9/2}{x} = \frac{9}{2x}$$. А $$\frac{x}{4.5} = \frac{x}{9/2} = \frac{2x}{9}$$.

Для удобства, пусть $$a = \frac{x}{4.5}$$ и $$b = \frac{4.5}{x}$$. Тогда функция имеет вид:

\[ y = \frac{1}{2} (|a - b| + |a + b|) \]

Рассмотрим два случая для знака $$a$$ и $$b$$. Так как $$a$$ и $$b$$ имеют одинаковый знак (зависят от знака $$x$$), нам нужно рассмотреть только два случая:

Случай 1: $$x > 0$$.

Тогда $$\frac{x}{4.5} > 0$$ и $$\frac{4.5}{x} > 0$$. В этом случае $$a > 0$$ и $$b > 0$$. Следовательно, $$|a - b|$$ и $$|a + b|$$ раскрываются следующим образом:

Если $$a > b$$ (т.е. $$x/4.5 > 4.5/x$$ или $$x^2 > 4.5^2$$, $$x > 4.5$$), то $$a-b > 0$$.

\[ y = \frac{1}{2} ((a - b) + (a + b)) = \frac{1}{2} (2a) = a = \frac{x}{4.5} \]

Если $$a < b$$ (т.е. $$0 < x < 4.5$$), то $$a-b < 0$$, и $$|a-b| = -(a-b) = b-a$$.

\[ y = \frac{1}{2} (-(a - b) + (a + b)) = \frac{1}{2} (b - a + a + b) = \frac{1}{2} (2b) = b = \frac{4.5}{x} \]

Таким образом, для $$x > 0$$:

• Если $$x > 4.5$$, то $$y = \frac{x}{4.5}$$
• Если $$0 < x < 4.5$$, то $$y = \frac{4.5}{x}$$

Случай 2: $$x < 0$$.

Тогда $$\frac{x}{4.5} < 0$$ и $$\frac{4.5}{x} < 0$$. Пусть $$a' = -a > 0$$ и $$b' = -b > 0$$. Тогда $$a = -a'$$ и $$b = -b'$$.

$$a - b = -a' - (-b') = b' - a'$$.

$$a + b = -a' + (-b') = -(a' + b')$$.

\[ y = \frac{1}{2} (|b' - a'| + |-(a' + b')|) = \frac{1}{2} (|b' - a'| + a' + b') \]

Если $$b' > a'$$ (т.е. $$|4.5/x| > |x/4.5|$$, что верно для $$x < -4.5$$), то $$b'-a' > 0$$.

\[ y = \frac{1}{2} (b' - a' + a' + b') = \frac{1}{2} (2b') = b' = -b = -\frac{4.5}{x} \]

Если $$b' < a'$$ (т.е. $$-4.5 < x < 0$$), то $$b'-a' < 0$$, и $$|b'-a'| = -(b'-a') = a'-b'$$.

\[ y = \frac{1}{2} (a' - b' + a' + b') = \frac{1}{2} (2a') = a' = -a = -\frac{x}{4.5} \]

Таким образом, для $$x < 0$$:

• Если $$x < -4.5$$, то $$y = -\frac{4.5}{x}$$
• Если $$-4.5 < x < 0$$, то $$y = -\frac{x}{4.5}$$

График функции:

График состоит из четырех частей:

• Для $$x > 4.5$$: прямая $$y = x/4.5$$
• Для $$0 < x < 4.5$$: гипербола $$y = 4.5/x$$
• Для $$-4.5 < x < 0$$: гипербола $$y = -4.5/x$$
• Для $$x < -4.5$$: прямая $$y = -x/4.5$$

График симметричен относительно оси y и оси x.

Теперь найдем, при каких значениях t прямая $$y = t$$ имеет ровно одну общую точку с графиком.

Прямая $$y=t$$ — это горизонтальная линия.

Рассмотрим значения t:

• Если $$t > 0$$: Прямая $$y=t$$ будет пересекать правую часть графика (где $$y = x/4.5$$ для $$x>4.5$$ и $$y = 4.5/x$$ для $$0
• Если $$t = 0$$, прямая $$y=0$$ не пересекает график, так как $$x \neq 0$$.
• Если $$t < 0$$: Прямая $$y=t$$ будет пересекать левую часть графика (где $$y = -x/4.5$$ для $$x < -4.5$$ и $$y = -4.5/x$$ для $$-4.5 < x < 0$$) в двух точках, если $$t$$ находится между 0 и значением функции в точке $$x=-4.5$$, то есть $$0 > t > -1$$. В этом случае будет два пересечения. Если $$t=-1$$, то одна точка пересечения с $$y=-x/4.5$$ (при $$x=-4.5$$) и одна точка с $$y=-4.5/x$$ (при $$x=-4.5$$). Значит, при $$t=-1$$ будет одна точка.

Однако, давайте пересмотрим раскрытие модулей.

Функция $$y = \frac{1}{2} (|a - b| + |a + b|)$$ эквивалентна $$\text{max}(|a|, |b|)$$.

То есть $$y = \text{max}\big(\big|\frac{x}{4.5}\big|, \big|\frac{4.5}{x}\big|\big)$$.

Случай 1: $$x > 0$$.

\[ y = \text{max}\bigg(\frac{x}{4.5}, \frac{4.5}{x}\bigg) \]

График $$y = x/4.5$$ — это прямая, проходящая через начало координат с наклоном $$1/4.5$$.

График $$y = 4.5/x$$ — это ветвь гиперболы в первой четверти.

Эти две линии пересекаются при $$\frac{x}{4.5} = \frac{4.5}{x} \rightarrow x^2 = 4.5^2 \rightarrow x = 4.5$$ (так как $$x>0$$).

В точке пересечения $$y = 4.5/4.5 = 1$$.

Для $$x > 4.5$$, $$x/4.5 > 1$$ и $$4.5/x < 1$$, так что $$y = x/4.5$$.

Для $$0 < x < 4.5$$, $$x/4.5 < 1$$ и $$4.5/x > 1$$, так что $$y = 4.5/x$$.

Случай 2: $$x < 0$$.

\[ y = \text{max}\bigg(\bigg|\frac{x}{4.5}\bigg|, \bigg|\frac{4.5}{x}\bigg|\bigg) = \text{max}\bigg(-\frac{x}{4.5}, -\frac{4.5}{x}\bigg) \]

График $$y = -x/4.5$$ — это прямая, проходящая через начало координат с наклоном $$-1/4.5$$.

График $$y = -4.5/x$$ — это ветвь гиперболы в третьей четверти.

Эти две линии пересекаются при $$-\frac{x}{4.5} = -\frac{4.5}{x} \rightarrow x^2 = 4.5^2 \rightarrow x = -4.5$$ (так как $$x<0$$).

В точке пересечения $$y = -(-4.5)/(-4.5) = -1$$.

Для $$x < -4.5$$, $$-x/4.5 > -1$$ и $$-4.5/x < -1$$, так что $$y = -x/4.5$$.

Для $$-4.5 < x < 0$$, $$-x/4.5 < -1$$ и $$-4.5/x > -1$$, так что $$y = -4.5/x$$.

График:

• При $$x > 4.5$$, $$y = x/4.5$$
• При $$0 < x < 4.5$$, $$y = 4.5/x$$
• При $$x < -4.5$$, $$y = -x/4.5$$
• При $$-4.5 < x < 0$$, $$y = -4.5/x$$

График состоит из двух лучей, исходящих из точек $$(4.5, 1)$$ и $$(-4.5, -1)$$ и двух ветвей гиперболы $$y=4.5/|x|$$.

Теперь найдем, при каких значениях $$t$$ прямая $$y=t$$ имеет ровно одну общую точку с графиком.

Прямая $$y=t$$ — это горизонтальная линия.

• Если $$t > 1$$, прямая $$y=t$$ не пересекает график.
• Если $$t = 1$$, прямая $$y=1$$ пересекает график в одной точке (вершине правой части графика, где $$x=4.5$$).
• Если $$0 < t < 1$$, прямая $$y=t$$ пересекает график в двух точках (по одной в каждой из ветвей гиперболы $$y=4.5/|x|$$).
• Если $$t = 0$$, прямая $$y=0$$ не пересекает график (так как $$x \neq 0$$).
• Если $$-1 < t < 0$$, прямая $$y=t$$ пересекает график в двух точках (по одной в каждой из ветвей гиперболы $$y=4.5/|x|$$).
• Если $$t = -1$$, прямая $$y=-1$$ пересекает график в одной точке (вершине левой части графика, где $$x=-4.5$$).
• Если $$t < -1$$, прямая $$y=t$$ не пересекает график.

Таким образом, ровно одну общую точку прямая $$y=t$$ имеет, когда $$t=1$$ или $$t=-1$$.

Ответ: 1, -1