Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Привет! Давай разберемся с этим заданием шаг за шагом.
1. Упростим функцию:
Сначала упростим нашу функцию $$y = \frac{2x+1}{2x^2+x}$$. Заметим, что в знаменателе можно вынести $$x$$ за скобки: $$2x^2+x = x(2x+1)$$.
Теперь наша функция выглядит так:
\[ y = \frac{2x+1}{x(2x+1)} \]Если $$2x+1 \ne 0$$ (то есть $$x \ne -1/2$$), мы можем сократить дробь:
\[ y = \frac{1}{x} \]Важный момент: Изначальная функция была определена для всех $$x$$, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. Знаменатель $$x(2x+1) = 0$$ при $$x=0$$ и $$x=-1/2$$. Поэтому наша функция $$y = \frac{2x+1}{2x^2+x}$$ определена для всех $$x$$, кроме $$x=0$$ и $$x=-1/2$$.
После сокращения мы получили $$y = 1/x$$. Эта функция определена для всех $$x$$, кроме $$x=0$$. Точка $$x=-1/2$$ будет «выколотой» точкой на графике $$y=1/x$$.
2. Построим график функции $$y = 1/x$$ с учетом ограничений:
График функции $$y=1/x$$ — это гипербола, состоящая из двух ветвей в первой и третьей четвертях. Нам нужно учесть, что точка $$x=-1/2$$ «выколота».
- При $$x = -1/2$$, значение $$y$$ было бы $$1/(-1/2) = -2$$. Значит, точка $$(-1/2, -2)$$ будет выколотой на графике.
3. Анализ прямой $$y = kx$$:
Прямая $$y = kx$$ — это прямая, проходящая через начало координат $$(0,0)$$ с угловым коэффициентом $$k$$. Мы хотим найти такие значения $$k$$, чтобы эта прямая имела ровно одну общую точку с графиком нашей функции $$y = \frac{2x+1}{2x^2+x}$$.
Рассмотрим два случая:
Случай 1: Прямая проходит через выколотую точку $$(-1/2, -2)$$.
Если прямая $$y=kx$$ проходит через точку $$(-1/2, -2)$$, то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению прямой:
\[ -2 = k \times (-1/2) \]Умножим обе части на -2:
\[ 4 = k \]Итак, при $$k=4$$ прямая $$y=4x$$ проходит через выколотую точку $$(-1/2, -2)$$.
Давайте проверим, сколько точек пересечения у $$y=4x$$ и $$y=1/x$$ (без учета выколотой точки).
\[ 4x = \frac{1}{x} \]$$4x^2 = 1$$
\[ x^2 = \frac{1}{4} \]$$x = \pm 1/2$$.
То есть, прямая $$y=4x$$ пересекает гиперболу $$y=1/x$$ в точках $$x=1/2$$ и $$x=-1/2$$. Точка $$x=-1/2$$ является выколотой. Значит, прямая $$y=4x$$ пересекает наш график (гиперболу с выколотой точкой) ровно в одной точке (при $$x=1/2$$). Таким образом, $$k=4$$ — одно из решений.
Случай 2: Прямая касается одной из ветвей гиперболы $$y=1/x$$ или совпадает с ней.
Прямая $$y=kx$$ проходит через начало координат. График $$y=1/x$$ состоит из двух ветвей, не проходящих через начало координат. Поэтому прямая $$y=kx$$ не может «касаться» гиперболы в смысле касательной (т.е. иметь ровно одну точку пересечения, кроме случаев, когда эта точка — выколотая).
Случай 3: Прямая проходит через начало координат $$(0,0)$$.
Наша исходная функция $$y = \frac{2x+1}{2x^2+x}$$ не определена в точке $$x=0$$. Прямая $$y=kx$$ проходит через $$(0,0)$$. Поэтому мы не можем говорить о пересечении в начале координат.
Важно: Прямая $$y=kx$$ и функция $$y=1/x$$ будут иметь ровно одну общую точку, если эта точка — выколотая, как мы рассмотрели в Случае 1. Если бы не было выколотой точки, то прямая $$y=kx$$ (при $$k \ne 0$$) всегда бы пересекала гиперболу $$y=1/x$$ в двух точках ($$kx = 1/x > x^2 = 1/k > x = \pm 1/\sqrt{k}$$).
Что еще нужно рассмотреть?
Мы искали $$k$$ так, чтобы прямая $$y=kx$$ имела ровно одну общую точку с графиком $$y=\frac{1}{x}$$ (с выколотой точкой $$(-1/2, -2)$$).
Мы нашли, что при $$k=4$$, прямая $$y=4x$$ проходит через выколотую точку $$(-1/2, -2)$$, и единственная реальная точка пересечения с графиком $$y=\frac{1}{x}$$ приходится на эту выколотую точку. Вторая точка пересечения $$x=1/2$$ (при $$y=2$$) является точкой графика.
Рассмотрим значение k=0:
Если $$k=0$$, то прямая $$y=0$$. График $$y=\frac{2x+1}{2x^2+x}$$ пересекает ось $$x$$ (где $$y=0$$) только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен. $$2x+1=0 > x = -1/2$$. При $$x=-1/2$$, знаменатель $$2(-1/2)^2+(-1/2) = 2(1/4)-1/2 = 1/2-1/2 = 0$$. Так как знаменатель равен нулю, $$x=-1/2$$ не является точкой графика. Значит, прямая $$y=0$$ не имеет общих точек с графиком нашей функции.
Вывод:
Единственное значение $$k$$, при котором прямая $$y=kx$$ имеет ровно одну общую точку с графиком функции $$y = \frac{2x+1}{2x^2+x}$$, это когда прямая проходит через выколотую точку $$(-1/2, -2)$$.
Ответ: $$k=4$$
