22 Постройте график функции \( y = 3 - \frac{x+2}{x^2+2x} \)

Задание 22. Построение графика функции

Дана функция: \( y = 3 - \frac{x+2}{x^2+2x} \)

1. Область определения:

Знаменатель не должен быть равен нулю:

\[ x^2 + 2x \neq 0 \]\[ x(x+2) \neq 0 \]

Следовательно, \( x \neq 0 \) и \( x \neq -2 \). Область определения: \( x \in \mathbb{R} \setminus \{0, -2\} \).

2. Упрощение функции:

Разложим знаменатель на множители:

\[ x^2 + 2x = x(x+2) \]

Теперь подставим это в исходную функцию:

\[ y = 3 - \frac{x+2}{x(x+2)} \]

Сократим дробь на \( (x+2) \), учитывая, что \( x \neq -2 \):

\[ y = 3 - \frac{1}{x} \]

Итак, наша функция для построения графика — \( y = 3 - \frac{1}{x} \), но с двумя "выколотыми" точками при \( x=0 \) и \( x=-2 \).

3. Построение графика:

График функции \( y = 3 - \frac{1}{x} \) — это гипербола \( y = -\frac{1}{x} \), сдвинутая на 3 единицы вверх.

• Асимптоты:
• Вертикальная асимптота: \( x = 0 \) (ось \( y \)).
• Горизонтальная асимптота: \( y = 3 \) (так как \( \frac{1}{x} \) стремится к 0 при \( x \to \pm \infty \)).

4. "Выколотые" точки:

При \( x=0 \) функция не определена, это вертикальная асимптота.

При \( x=-2 \) найдем значение \( y \) для "выколотой" точки:

\[ y = 3 - \frac{1}{-2} = 3 + \frac{1}{2} = 3.5 \]

Таким образом, точка \( (-2, 3.5) \) будет "выколотой" на графике.

График:

График будет состоять из двух ветвей гиперболы \( y = 3 - \frac{1}{x} \). Одна ветвь находится в "первом" и "третьем" квадрантах относительно асимптот \( x=0 \) и \( y=3 \), другая — в "втором" и "четвёртом". Точка \( (-2, 3.5) \) должна быть отмечена как выколотая.

Описание графика:

Это график функции \( y = 3 - \frac{1}{x} \), который является гиперболой с центром смещения в точке \( (0, 3) \). Вертикальная асимптота — \( x = 0 \), горизонтальная — \( y = 3 \). Также на графике есть выколотая точка с координатами \( (-2, 3.5) \).