Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 25 В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке Р. Докажите, что площади треугольников APB и CPD…Фото задания

Ответ:

Задание 25. Равенство площадей треугольников

Дано:

  • Трапеция \( ABCD \).
  • Основания \( AD \) и \( BC \).
  • Диагонали \( AC \) и \( BD \) пересекаются в точке \( P \).

Доказать: \( S_{APB} = S_{CPD} \).

Доказательство:

Рассмотрим трапецию \( ABCD \) с основаниями \( AD \) и \( BC \). Известно, что основания трапеции параллельны: \( AD \parallel BC \).

Диагонали \( AC \) и \( BD \) пересекаются в точке \( P \).

Рассмотрим треугольники \( Δ APD \) и \( Δ BPC \).

Рассмотрим треугольники \( Δ ABC \) и \( Δ DBC \).

Эти два треугольника имеют одинаковое основание \( BC \) (или \( AD \)) и одинаковую высоту, так как они лежат между параллельными прямыми \( AD \) и \( BC \).

Следовательно, их площади равны:

\[ S_{ABC} = S_{DBC} \]

Теперь рассмотрим площади этих треугольников, разбивая их на части в точке пересечения диагоналей \( P \).

Треугольник \( Δ ABC \) состоит из \( Δ APB \) и \( Δ BPC \):

\[ S_{ABC} = S_{APB} + S_{BPC} \]

Треугольник \( Δ DBC \) состоит из \( Δ CPD \) и \( Δ BPC \):

\[ S_{DBC} = S_{CPD} + S_{BPC} \]

Поскольку \( S_{ABC} = S_{DBC} \), мы можем приравнять правые части этих равенств:

\[ S_{APB} + S_{BPC} = S_{CPD} + S_{BPC} \]

Вычтем \( S_{BPC} \) из обеих частей равенства:

\[ S_{APB} = S_{CPD} \]

Таким образом, площади треугольников \( Δ APB \) и \( Δ CPD \) равны.

Что и требовалось доказать.