24 Катеты прямоугольного треугольника равны 21 и 28. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Задание 24. Высота прямоугольного треугольника

Дано:

• Прямоугольный треугольник.
• Катет \( a = 21 \).
• Катет \( b = 28 \).

Найти: высоту \( h \), проведённую к гипотенузе.

Решение:

Сначала найдём длину гипотенузы \( c \) по теореме Пифагора:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]\[ c^2 = 21^2 + 28^2 \]\[ c^2 = 441 + 784 \]\[ c^2 = 1225 \]\[ c = \sqrt{1225} = 35 \]

Теперь используем формулу площади треугольника. Площадь можно вычислить двумя способами:

1. Через катеты: \[ S = \frac{1}{2} a b \]
2. Через гипотенузу и высоту к ней: \[ S = \frac{1}{2} c h \]

Приравниваем эти два выражения для площади:

\[ \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} c h \]\[ a b = c h \]

Выразим высоту \( h \):

\[ h = \frac{a b}{c} \]

Подставим известные значения:

\[ h = \frac{21 \cdot 28}{35} \]

Сократим дробь. Можно заметить, что 21 и 35 делятся на 7, а 28 и 35 делятся на 7.

\[ h = \frac{(21/7) \cdot 28}{(35/7)} = \frac{3 \cdot 28}{5} = \frac{84}{5} \]

Переведём в десятичную дробь:

\[ h = 16.8 \]

Ответ: 16.8.