22. Постройте график функции $$y = 5|x - 2| - x^2$$. При каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение:

Для построения графика функции $$y = 5|x - 2| - x^2$$, рассмотрим два случая:

Случай 1: $$x - 2 ≥ 0$$, то есть $$x ≥ 2$$.

В этом случае $$|x - 2| = x - 2$$, и функция принимает вид:

• $$y = 5(x - 2) - x^2 = 5x - 10 - x^2 = -x^2 + 5x - 10$$

Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы:

• $$x_{верш} = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2(-1)} = \frac{5}{2} = 2.5$$.
• $$y_{верш} = -(2.5)^2 + 5(2.5) - 10 = -6.25 + 12.5 - 10 = -3.75$$.

При $$x = 2$$: $$y = -(2)^2 + 5(2) - 10 = -4 + 10 - 10 = -4$$. Таким образом, точка $$(2, -4)$$ является началом участка параболы.

Случай 2: $$x - 2 < 0$$, то есть $$x < 2$$.

В этом случае $$|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$$, и функция принимает вид:

• $$y = 5(2 - x) - x^2 = 10 - 5x - x^2 = -x^2 - 5x + 10$$

Это также парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы:

• $$x_{верш} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2(-1)} = -\frac{5}{2} = -2.5$$.
• $$y_{верш} = -(-2.5)^2 - 5(-2.5) + 10 = -6.25 + 12.5 + 10 = 16.25$$.

При $$x = 2$$: $$y = -(2)^2 - 5(2) + 10 = -4 - 10 + 10 = -4$$. Точка $$(2, -4)$$ является точкой, где графики двух случаев соединяются.

График:

График состоит из двух частей параболы, соединенных в точке $$(2, -4)$$. Вершина первой части (для $$x ≥ 2$$) находится в точке $$(2.5, -3.75)$$. Вершина второй части (для $$x < 2$$) находится в точке $$(-2.5, 16.25)$$.

Анализ для $$y=m$$ (три общие точки):

Прямая $$y = m$$ является горизонтальной линией. Чтобы она пересекала график функции ровно в трех точках, она должна проходить:

• Через вершину одной из частей параболы, но не через вершину другой, и при этом пересекать другую ветвь графика.

Рассмотрим значения $$y$$ в ключевых точках:

• Вершина первой части (для $$x ≥ 2$$): $$y = -3.75$$ при $$x = 2.5$$.
• Вершина второй части (для $$x < 2$$): $$y = 16.25$$ при $$x = -2.5$$.
• Точка соединения графиков: $$y = -4$$ при $$x = 2$$.

Если $$m = -3.75$$, прямая $$y = -3.75$$ пройдет через вершину первой части графика, и также пересечет вторую часть графика в двух точках (так как $$y=16.25$$ — максимальное значение, и $$-3.75$$ меньше этого). Итого 3 точки.

Если $$m = 16.25$$, прямая $$y = 16.25$$ пройдет через вершину второй части графика. Она также пересечет первую часть графика в двух точках, так как $$-3.75 < 16.25$$. Итого 3 точки.

Если $$m$$ находится между $$y_{верш1}$$ и $$y_{верш2}$$ ($$ -3.75 < m < 16.25 $$), то прямая $$y=m$$ будет пересекать обе части графика, давая 4 точки пересечения. Если $$m < -4$$, то 0 точек. Если $$m = -4$$, то 2 точки.

Таким образом, три точки пересечения достигаются, когда прямая $$y=m$$ проходит через одну из вершин, при этом пересекая другую часть графика.

Ответ: $$m = -3.75$$ и $$m = 16.25$$