22. Постройте график функции $y=5|x-3|-x^2+7x-12$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Question

Вопрос: $Фото задания: 22. Постройте график функции $y=5|x-3|-x^2+7x-12$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком…$ Фото задания

22. Постройте график функции $y=5|x-3|-x^2+7x-12$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Accepted Answer

Раскроем модуль отдельно на двух промежутках.

При $x<3$: $y=-5(x-3)-x^2+7x-12=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$.

При $x\geq3$: $y=5(x-3)-x^2+7x-12=-x^2+12x-27=-(x-6)^2+9$.

График состоит из двух частей парабол: первая задана при $x<3$, вторая — при $x\geq3$. В точке стыка обе формулы дают $y=0$; точка $(3;0)$ входит во вторую часть.

Для подсчёта пересечений горизонтальной прямой используем вершины и границы частей. На левой части вершина имеет высоту 4, а при подходе к $x=3$ значение стремится к 0. На правой части от точки $(3;0)$ график поднимается до высоты 9, затем убывает.

При $m=0$ есть одна точка пересечения на левой части и две на правой: всего три.
При $m=4$ есть одна точка касания на левой части и две точки пересечения на правой: всего три.

Ответ: $m=0$ или $m=4$.

22. Постройте график функции \(y=5|x-3|-x^2+7x-12\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.

Ответ: