22. Постройте график функции $ y = \begin{cases} 2x - 2, & \text{если } x < 3; \\ -3x + 13, & \text{если } 3 \le x \le 4; \\ 1.5x - 7, & \text{если } x > 4. \end{cases} $ Определите, при каких значениях $ m $ прямая $ y = m $ имеет с графиком ровно две общие точки.

Question

Вопрос: $Фото задания: 22. Постройте график функции \( y = \begin{cases} 2x - 2, & \text{если } x < 3; \\ -3x + 13, & \text{если } 3 \le x \le 4; \\…$ Фото задания

22. Постройте график функции $ y = \begin{cases} 2x - 2, & \text{если } x < 3; \\ -3x + 13, & \text{если } 3 \le x \le 4; \\ 1.5x - 7, & \text{если } x > 4. \end{cases} $ Определите, при каких значениях $ m $ прямая $ y = m $ имеет с графиком ровно две общие точки.

Accepted Answer

Решение:

Построим график заданной кусочно-линейной функции.

Первый луч: $ y = 2x - 2 $ при $ x < 3 $.
При $ x = 3 $, $ y = 2(3) - 2 = 6 - 2 = 4 $. Точка (3, 4) — начало луча (не включительно).
При $ x = 0 $, $ y = -2 $. Точка (0, -2).
Второй отрезок: $ y = -3x + 13 $ при $ 3 \le x \le 4 $.
При $ x = 3 $, $ y = -3(3) + 13 = -9 + 13 = 4 $. Точка (3, 4) — начало отрезка (включительно).
При $ x = 4 $, $ y = -3(4) + 13 = -12 + 13 = 1 $. Точка (4, 1) — конец отрезка (включительно).
Третий луч: $ y = 1.5x - 7 $ при $ x > 4 $.
При $ x = 4 $, $ y = 1.5(4) - 7 = 6 - 7 = -1 $. Точка (4, -1) — начало луча (не включительно).
При $ x = 6 $, $ y = 1.5(6) - 7 = 9 - 7 = 2 $. Точка (6, 2).

Прямая $ y = m $ имеет с графиком ровно две общие точки, когда она проходит через:

Вершину первого луча (точка, где $ x=3 $), которая равна $ y=4 $.
Вершину отрезка (точка, где $ x=4 $), которая равна $ y=1 $.
Нижнюю точку графика, которая является началом третьего луча (точка $ (4, -1) $).

Таким образом, $ y = m $ имеет ровно две общие точки, когда $ m = 4 $ или $ m = 1 $.

Ответ: $ m = 1 $ или $ m = 4 $