22. Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2-8x+14,&x\ge 3;\\x-2,&x<3.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Question

Вопрос: $Фото задания: 22. Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2-8x+14,&x\ge 3;\\x-2,&x<3.\end{cases}$ Определите, при каких значениях…$ Фото задания

22. Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2-8x+14,&x\ge 3;\\x-2,&x<3.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Accepted Answer

Для построения достаточно отметить особенности обеих частей: при $x<3$ график — прямая $y=x-2$, а при $x\ge3$ — парабола $y=(x-4)^2-2$. В точке перехода обе формулы дают значение 1, но точка $(3,1)$ принадлежит параболической части.

Считаем пересечения горизонтальной прямой с каждой частью отдельно.

При $x<3$ прямая возрастает и принимает все значения $y<1$. Поэтому при $m<1$ есть одно пересечение, а при $m\ge1$ — ни одного.
Для параболы $y=(x-4)^2-2$, $x\ge3$: вершина $(4,-2)$. При $-2\le m<1$ горизонталь пересекает её в двух точках (для $m=-2$ — в одной, поэтому уточняем отдельно). Если $m=-2$, парабола даёт одну точку, а прямая — ещё одну, итого две.
При $-2<m<1$ парабола даёт две точки, а прямая — одну, итого три. При $m=1$ парабола даёт одну точку $(3,1)$, прямая в своей области не пересекается: итого одна. При $m>1$ парабола даёт две точки, прямая — ни одной.

Итак, ровно две общие точки получаются при $m=-2$ или $m>1$.

Ответ: $m=-2$ или $m>1$.

22. Постройте график функции \(y=\begin{cases}x^2-8x+14,&x\ge 3;\\x-2,&x&lt;3.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ:

22. Постройте график функции \(y=\begin{cases}x^2-8x+14,&x\ge 3;\\x-2,&x<3.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно две общие точки.