22. Постройте график функции $y=\dfrac{(x+1)(x^2+7x+12)}{x+4}$ и определите, при каких значениях $t$ прямая $y=t$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Question

Вопрос: $Фото задания: 22. Постройте график функции $y=\dfrac{(x+1)(x^2+7x+12)}{x+4}$ и определите, при каких значениях $t$ прямая $y=t$ имеет…$ Фото задания

22. Постройте график функции $y=\dfrac{(x+1)(x^2+7x+12)}{x+4}$ и определите, при каких значениях $t$ прямая $y=t$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Accepted Answer

Разложим квадратный трёхчлен на множители, учитывая ограничение области определения:

$x^2+7x+12=(x+3)(x+4)$, поэтому при $x\ne-4$: $y=(x+1)(x+3)=x^2+4x+3=(x+2)^2-1$.

График — парабола с вершиной $(-2;-1)$, но точка $(-4;3)$ не входит в график: в исходной функции при $x=-4$ знаменатель равен нулю.

Для горизонтальной прямой $y=t$ число пересечений определяется уравнением $(x+2)^2-1=t$, причём значение $x=-4$ нужно исключить.

При $t=-1$ получается единственное решение $x=-2$ — вершина параболы.
При $t=3$ уравнение даёт $x=-4$ и $x=0$. Значение $x=-4$ не входит в область определения, поэтому остаётся одно пересечение: при $x=0$.
При $t<-1$ пересечений нет, а при $t>-1$, $t\ne3$, их два.

Ответ: $t=-1$ или $t=3$.

22. Постройте график функции \(y=\dfrac{(x+1)(x^2+7x+12)}{x+4}\) и определите, при каких значениях \(t\) прямая \(y=t\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: