22. Постройте график функции $y=\dfrac12\left(\left|\dfrac{x}{3}-\dfrac{3}{x}\right|+\dfrac{x}{3}+\dfrac{3}{x}\right)$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Question

Вопрос: $Фото задания: 22. Постройте график функции $y=\dfrac12\left(\left|\dfrac{x}{3}-\dfrac{3}{x}\right|+\dfrac{x}{3}+\dfrac{3}{x}\right)$.…$ Фото задания

22. Постройте график функции $y=\dfrac12\left(\left|\dfrac{x}{3}-\dfrac{3}{x}\right|+\dfrac{x}{3}+\dfrac{3}{x}\right)$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Accepted Answer

Область определения: $x\ne0$. Используем тождество $(|a-b|+a+b)/2=\max(a,b)$. Следовательно, график задаётся большей из функций $x/3$ и $3/x$; они пересекаются при $x=-3$ и $x=3$.

График состоит из ветви $y=3/x$ при $x\le-3$, отрезка графика $y=x/3$ при $-3\le x<0$, ветви $y=3/x$ при $0<x\le3$ и ветви $y=x/3$ при $x\ge3$. На стыках значения равны соответственно $-1$ и $1$.

Горизонтальная прямая уровня $-1$ касается графика в одной точке, как и прямая уровня $1$. При уровнях $-1<m<0$ и $m>1$ пересечений по две; при прочих уровнях — ни одной.

Ответ: $m=-1$ или $m=1$.