22. Постройте график функции $y=\frac{(x^2-4)(x^2-4x+3)}{x^2-3x+2}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Question

Вопрос: $Фото задания: 22. Постройте график функции $y=\frac{(x^2-4)(x^2-4x+3)}{x^2-3x+2}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая…$ Фото задания

22. Постройте график функции $y=\frac{(x^2-4)(x^2-4x+3)}{x^2-3x+2}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Accepted Answer

Разложим на множители:

\[x^2-4=(x-2)(x+2),\quad x^2-4x+3=(x-1)(x-3),\quad x^2-3x+2=(x-1)(x-2).\]

При $x\ne1,2$:

\[y=\frac{(x-2)(x+2)(x-1)(x-3)}{(x-1)(x-2)}=(x+2)(x-3)=x^2-x-6.\]

График — парабола $y=x^2-x-6$ с выколотыми точками при $x=1$ и $x=2$:

\[y(1)=-6,\qquad y(2)=-4.\]

Пересечения с прямой $y=m$ определяются уравнением:

\[x^2-x-6=m,\quad x^2-x-(m+6)=0.\]

Обычно парабола пересекается с горизонтальной прямой в двух точках, одна точка получается только при касании в вершине. Вершина имеет координаты:

\[x=\frac12,\qquad y=-\frac{25}{4}.\]

При $m=-\frac{25}{4}$ имеется одна точка касания. При $m=-6$ один из двух корней $x=1$ исключён, а при $m=-4$ исключён корень $x=2$, поэтому также остаётся ровно одна точка.

Ответ: $m\in\left\{-\frac{25}{4};-6;-4\right\}$

22. Постройте график функции \(y=\frac{(x^2-4)(x^2-4x+3)}{x^2-3x+2}\) и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: