23. Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK=8, а сторона AC в 1,6 раза больше стороны BC.

По свойству окружности, описанной около треугольника, углы AKB и ACB равны, также как и углы APK и ABC. Четырехугольник BKPC - вписанный в окружность, значит, сумма противоположных углов равна 180 градусам. Треугольник AKP подобен треугольнику ABC по двум углам. Следовательно, отношение сторон KP/BC=AK/AB=AP/AC. Нам известно, что AK = 8 и AC = 1.6 * BC. Треугольники AKP и ABC подобны. Запишем отношение сторон: $$\frac{KP}{BC}=\frac{AK}{AB} $$ и $$\frac{AP}{AC}=\frac{AK}{AB}$$. Пусть BC = x, тогда AC = 1.6x. Так как четырехугольник BKPC вписан в окружность, то угол KPC = углу KBC. Значит, треугольники AKR и ABC подобны, а значит, отношение их сторон равно. $$\frac{KP}{BC}=\frac{AK}{AC} $$ . Так как сторона AC=1.6BC, то KP= AK/AC *BC = 8 / 1.6BC * BC. Сокращая BC, получим 8/1.6=5. Ответ: KP=5.