22. Постройте график функции \(y=\frac{(x-2)(x^2-5x+4)}{x-4}\) и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Разложим числитель на множители: \(x^2-5x+4=(x-1)(x-4)\). Поэтому при \(x\ne4\) функция задаётся формулой \(y=(x-2)(x-1)=x^2-3x+2\). Точка графика при \(x=4\) отсутствует; соответствующее значение параболы равно \(6\), поэтому на графике есть выколотая точка \((4;6)\).

Чтобы найти пересечения с прямой \(y=m\), решим уравнение \(x^2-3x+2=m\), учитывая ограничение \(x\ne4\). Дискриминант равен \(1+4m\). При \(m<-\frac14\) пересечений нет; при \(m=-\frac14\) есть одно касание. При \(m>-\frac14\) обычно два пересечения, но при \(m=6\) один из корней равен \(4\) и не принадлежит графику, так что остаётся ровно одно пересечение.

Ответ: \(m=-\frac14\) или \(m=6\).