25. Боковые стороны $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 8 и 10, а основание $BC$ равно 2. Биссектриса угла $ADC$ проходит через середину стороны $AB$. Найдите площадь трапеции.

Question

Вопрос: $Фото задания: 25. Боковые стороны $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 8 и 10, а основание $BC$ равно 2. Биссектриса…$ Фото задания

25. Боковые стороны $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 8 и 10, а основание $BC$ равно 2. Биссектриса угла $ADC$ проходит через середину стороны $AB$. Найдите площадь трапеции.

Accepted Answer

Пусть $AD\parallel BC$. Введём координаты: $D=(0,0)$, $A=(a,0)$, $C=(p,h)$, $B=(p+2,h)$. Тогда $CD=10$, а середина $AB$ имеет координаты $M=((a+p+2)/2,h/2)$.

Так как $M$ лежит на биссектрисе угла между прямыми $DA$ и $DC$, её расстояния до этих прямых равны. Расстояние до $DA$ равно $h/2$. Расстояние до $DC$ равно $\dfrac{|\det((p,h),M)|}{10}=\dfrac{h(a+2)}{20}$. Поэтому $h/2=h(a+2)/20$, откуда $a=8$.

Из $CD=10$ следует $p^2+h^2=100$. А из $AB=8$: $(p+2-a)^2+h^2=64$, то есть $(p-6)^2+h^2=64$. Вычитая первое равенство из второго, получаем $-12p+36=-36$, поэтому $p=6$, а $h^2=100-36=64$, следовательно, $h=8$.

Площадь трапеции:

$S=\dfrac{AD+BC}{2}\cdot h=\dfrac{8+2}{2}\cdot8=40$.

Ответ: 40.