22. Постройте график функции \(y=\frac{x^4-5x^2+4}{(x-1)(x+2)}\). Определите, при каких значениях \(p\) прямая \(y=p\) имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.

Разложим числитель:

\[x^4-5x^2+4=(x^2-1)(x^2-4)=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2).\]

С учётом области определения \(x\ne1,-2\):

\[y=x^2-3x+2,\qquad x\ne1,-2.\]

Это парабола с вершиной \(\left(\frac32,-\frac14\right)\), из которой удалены точки \((1,0) en и \((-2,12)\).

Число пересечений с прямой \(y=p\) определяется уравнением

\[x^2-3x+2=p.\]

При \(p<-\frac14\) решений нет, при \(p=-\frac14\) одно решение, при \(p>-\frac14\) обычно два решения. При \(p=0\) одно из решений равно \(x=1\) и исключается, поэтому остаётся одна точка. При \(p=12\) одно из решений равно \(x=-2\) и исключается, поэтому также остаётся одна точка.

Ответ: \(p=-\frac14,\ 0,\ 12\)