24. Две окружности с разными центрами не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении \(k:d\). Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как \(k:d\).

Пусть радиусы окружностей равны \(R\) и \(r\), а центры — \(O_1\) и \(O_2\). Внутренняя общая касательная пересекает отрезок \(O_1O_2\) в точке \(T\) и делит его в отношении \(k:d\).

Расстояния от центров до касательной равны соответственно \(R\) и \(r\). Из подобия прямоугольных треугольников, образованных перпендикулярами из центров к касательной и отрезками \(O_1T\), \(TO_2\), получаем

\[\frac{O_1T}{TO_2}=\frac{R}{r}.\]

По условию \(O_1T:TO_2=k:d\), следовательно, \(R:r=k:d\). Диаметры пропорциональны радиусам, поэтому

\[2R:2r=R:r=k:d.\]

Что и требовалось доказать.