22. Постройте график функции $y=\frac12\left(\left|\frac{x}{7}-\frac{7}{x}\right|+\frac{x}{7}+\frac{7}{x}\right)$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Question

Вопрос: $Фото задания: 22. Постройте график функции $y=\frac12\left(\left|\frac{x}{7}-\frac{7}{x}\right|+\frac{x}{7}+\frac{7}{x}\right)$ и…$ Фото задания

22. Постройте график функции $y=\frac12\left(\left|\frac{x}{7}-\frac{7}{x}\right|+\frac{x}{7}+\frac{7}{x}\right)$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Accepted Answer

Область определения: $x\ne 0$. Используем тождество $\frac{|a-b|+a+b}{2}=\max(a,b)$:

\[y=\max\left(\frac{x}{7},\frac{7}{x}\right).\]

При $x>0$ ветви пересекаются при $x=7$, и график имеет минимум $y=1$ в точке $(7;1)$. При $x<0$ они пересекаются при $x=-7$, и график имеет минимум $y=-1$ в точке $(-7;-1)$. Поэтому горизонталь уровня $m=1$ касается графика в одной точке, как и горизонталь уровня $m=-1$. При других уровнях пересечений либо нет, либо их две.

Ответ: $m=-1$ или $m=1$.