25. В треугольнике PSN биссектриса ST и медиана PZ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 16. Найдите стороны треугольника PSN.

Расположим биссектрису \(ST\) на вертикальной оси, а вершину \(S\) примем за начало координат. Пусть лучи \(SP\) и \(SN\) образуют с биссектрисой одинаковый угол \(\theta\). Обозначим \(SP=a\), \(SN=b\). Тогда можно задать координаты:

\[P=(a\sin\theta,a\cos\theta),\qquad N=(-b\sin\theta,b\cos\theta).\]

Точка \(Z\) — середина \(SN\), значит \(Z=(-\frac b2\sin\theta,\frac b2\cos\theta)\). Поскольку \(PZ\perp ST\), точки \(P\) и \(Z\) имеют одинаковые вертикальные координаты: \(a\cos\theta=\frac b2\cos\theta\), откуда \(a=\frac b2\).

Горизонтальная длина медианы равна \(PZ=(a+\frac b2)\sin\theta=b\sin\theta=16\).

Точка \(T\) лежит на \(PN\) и на оси биссектрисы. Из координат концов отрезка \(PN\) получаем для её вертикальной координаты \(ST=\frac{2ab}{a+b}\cos\theta\). Подставляя \(a=\frac b2\) и \(ST=16\), имеем \(\frac23 b\cos\theta=16\), то есть \(b\cos\theta=24\).

Следовательно, \(b^2=(b\sin\theta)^2+(b\cos\theta)^2=16^2+24^2=832\), поэтому \(SN=b=8\sqrt{13}\), а \(PS=a=4\sqrt{13}\).

Для третьей стороны разность координат вершин даёт горизонтальную составляющую \((a+b)\sin\theta=24\), а вертикальную составляющую \((a-b)\cos\theta=-12\). Поэтому

\[PN=\sqrt{24^2+12^2}=12\sqrt5.\]

Ответ: \(PS=4\sqrt{13},\ SN=8\sqrt{13},\ PN=12\sqrt5\).