24. На средней линии трапеции PBMX с основаниями PX и BM выбрали произвольную точку N. Докажите, что сумма площадей треугольников BNM и PNX равна половине площади трапеции.

Обозначим высоту трапеции через \(h\), а длины её оснований — через \(BM\) и \(PX\). Средняя линия параллельна основаниям и находится на одинаковом расстоянии от каждого из них. Поэтому высота треугольника \(BNM\), проведённая к основанию \(BM\), равна \(h/2\); высота треугольника \(PNX\), проведённая к основанию \(PX\), также равна \(h/2\).

Тогда

\[S_{BNM}+S_{PNX}=\frac12 BM\cdot\frac h2+\frac12 PX\cdot\frac h2=\frac{(BM+PX)h}{4}.\]

Площадь трапеции равна \(S_{PBMX}=\frac{(BM+PX)h}{2}\). Следовательно,

\[S_{BNM}+S_{PNX}=\frac12 S_{PBMX}.\]

Что и требовалось доказать.