22. Постройте график функции y=(x²-10x²+9)/(x+1)(x-3) и определите, при каких значениях т прямая у=т имеет с графиком ровно одну общую точку.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Упрощаем числитель дроби.
   \( x^2 - 10x^2 + 9 = -9x^2 + 9 = -9(x^2 - 1) = -9(x-1)(x+1) \)
2. Шаг 2: Переписываем функцию:
   \( y = \frac{-9(x-1)(x+1)}{(x+1)(x-3)} \)
3. Шаг 3: Сокращаем дробь, учитывая, что \( x
   eq -1 \) и \( x
   eq 3 \).
   \( y = \frac{-9(x-1)}{x-3} \)
4. Шаг 4: Находим точки, где функция не определена (выколотые точки).
   При \( x = -1 \): \( y = \frac{-9(-1-1)}{-1-3} = \frac{-9(-2)}{-4} = \frac{18}{-4} = -4.5 \). Точка выколота: (-1, -4.5).
   При \( x = 3 \) — вертикальная асимптота.
5. Шаг 5: Находим горизонтальную асимптоту.
   \( y = \frac{-9x + 9}{x - 3} \). При \( x \to \infty \), \( y \to -9 \). Горизонтальная асимптота: \( y = -9 \).
6. Шаг 6: Ищем точки пересечения с осями.
   С осью Y (x=0): \( y = \frac{-9(0-1)}{0-3} = \frac{9}{-3} = -3 \). Точка (0, -3).
   С осью X (y=0): \( -9(x-1) = 0 \) => \( x = 1 \). Точка (1, 0).
7. Шаг 7: Строим график функции, учитывая выколотую точку и асимптоты. График представляет собой гиперболу.
8. Шаг 8: Определяем, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
   Прямая \( y = m \) будет иметь одну общую точку с графиком в следующих случаях:
   a) Если \( y = m \) совпадает с горизонтальной асимптотой, но при этом учитывается, что сама асимптота не является частью графика. В данном случае, горизонтальная асимптота \( y = -9 \), но в ней нет выколотой точки.
9. Шаг 9: Проверяем, есть ли значения \( y \), которые принимаются функцией только один раз.
   Вертикальная асимптота \( x = 3 \) делит график на две ветви.
   Ветвь слева от \( x = 3 \) (включая точку (1,0) и (0,-3)) достигает своего минимального значения в районе асимптоты \( y=-9 \) и уходит в \( -∞ \).
   Ветвь справа от \( x = 3 \) уходит в \( +∞ \) и приближается к \( y=-9 \).
   Единственной точкой, где прямая \( y=m \) будет пересекать график ровно один раз, это когда \( y=m \) проходит через выколотую точку.
10. Шаг 10: Исключительный случай: когда \( y = m \) проходит через выколотую точку \( (-1, -4.5) \). В этом случае прямая \( y = -4.5 \) пересечет график в одной точке, соответствующей выколотой точке, но сама выколотая точка не будет являться частью графика.
11. Шаг 11: Также, прямая \( y = m \) будет иметь одну общую точку, если она является горизонтальной асимптотой, то есть \( m = -9 \).

Ответ: -9; -4.5