22. Постройте график функции y = x² − |4x + 3|. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Раскроем модуль по определению:

\[y=\begin{cases}x^2+4x+3, & x<-\frac34,\\ x^2-4x-3, & x\geq-\frac34.\end{cases}\]

График состоит из двух частей парабол:

• при \(x<-\frac34\): \(y=(x+2)^2-1\), вершина \((-2;-1)\);
• при \(x\geq-\frac34\): \(y=(x-2)^2-7\), вершина \((2;-7)\).

Для определения числа пересечений рассмотрим горизонтальную прямую \(y=m\). Три общие точки получаются в двух случаях:

1. При \(m=-1\): левая парабола касается прямой в своей вершине, а правая часть пересекается с ней в двух точках.
2. При \(m=\frac9{16}\): значение в общей граничной точке \(x=-\frac34\) равно \(\frac9{16}\); с учётом второй точки правой части и одной точки левой части получается ровно три пересечения.

Для построения отметьте вершины \((-2;-1)\), \((2;-7)\), граничную точку \(\left(-\frac34;\frac9{16}\right)\) и проведите соответствующие части парабол.

Ответ: \(m=-1\) или \(m=\frac9{16}\).