21. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 280 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 15 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 39 часов после отплытия из него.

Решение:

Пусть \( x \) км/ч — скорость теплохода в неподвижной воде. Тогда:

• Скорость теплохода по течению: \( x + 4 \) км/ч.
• Скорость теплохода против течения: \( x - 4 \) км/ч.
• Время движения по течению: \( t_1 = \frac{280}{x+4} \) ч.
• Время движения против течения: \( t_2 = \frac{280}{x-4} \) ч.
• Общее время в пути (без учёта стоянки) равно общему времени минус время стоянки: \( 39 - 15 = 24 \) ч.
• Составим уравнение: \( t_1 + t_2 = 24 \)
• \( \frac{280}{x+4} + \frac{280}{x-4} = 24 \).
• Умножим обе части уравнения на \( (x+4)(x-4) \) (при условии \( x > 4 \)):
• \( 280(x-4) + 280(x+4) = 24(x+4)(x-4) \).
• \( 280x - 1120 + 280x + 1120 = 24(x^2 - 16) \).
• \( 560x = 24x^2 - 384 \).
• Перенесём все члены в правую часть: \( 24x^2 - 560x - 384 = 0 \).
• Разделим на 8: \( 3x^2 - 70x - 48 = 0 \).
• Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \( D = (-70)^2 - 4 · 3 · (-48) = 4900 + 576 = 5476 \). \( \sqrt{5476} = 74 \).
• Корни: \( x_1 = \frac{70 + 74}{2 · 3} = \frac{144}{6} = 24 \) и \( x_2 = \frac{70 - 74}{2 · 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} \).
• Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем \( x = 24 \).

Ответ: 24 км/ч.