22. Постройте график функции y = (x²+6,25)(x-1) / (1-x). Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

Упростим функцию:

\[ y = \frac{(x^2 + 6.25)(x-1)}{1-x} \]

Заметим, что \( 1-x = -(x-1) \).

\[ y = \frac{(x^2 + 6.25)(x-1)}{-(x-1)} \]

При \( x \ne 1 \), мы можем сократить \( (x-1) \):

\[ y = -(x^2 + 6.25) = -x^2 - 6.25 \]

График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (0, -6.25). Однако, исходная функция имеет ограничение \( x \ne 1 \). При \( x=1 \) функция не определена.

Найдем значение \( y \) при \( x=1 \) для упрощенной функции: \( y = -(1^2 + 6.25) = -1 - 6.25 = -7.25 \).

Значит, на графике будет «выколотая» точка с координатами (1, -7.25).

Теперь рассмотрим прямую \( y = kx \), проходящую через начало координат (0, 0).

Нам нужно найти такие \( k \), при которых прямая \( y = kx \) имеет ровно одну общую точку с графиком \( y = -x^2 - 6.25 \), учитывая, что точка (1, -7.25) «выколота».

Случай 1: Прямая проходит через вершину параболы (0, -6.25).

\( y = kx \). Подставляем точку (0, -6.25): \( -6.25 = k \cdot 0 \). Это невозможно, так как \( -6.25 \ne 0 \). Прямая, проходящая через начало координат, не может пройти через вершину параболы, если она не совпадает с началом координат.

Случай 2: Прямая имеет одну общую точку с параболой, касаясь её.

Приравниваем уравнения:

\[ kx = -x^2 - 6.25 \]

\[ x^2 + kx + 6.25 = 0 \]

Для того чтобы прямая касалась параболы, дискриминант этого квадратного уравнения должен быть равен нулю:

\[ D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6.25 = 0 \]

\[ k^2 - 25 = 0 \]

\[ k^2 = 25 \]

\[ k = \pm 5 \]

Если \( k = 5 \): \( x^2 + 5x + 6.25 = 0 \). \( x = -2.5 \). Тогда \( y = 5 \cdot (-2.5) = -12.5 \). Точка касания (-2.5, -12.5).

Если \( k = -5 \): \( x^2 - 5x + 6.25 = 0 \). \( x = 2.5 \). Тогда \( y = -5 \cdot (2.5) = -12.5 \). Точка касания (2.5, -12.5).

Эти точки не совпадают с «выколотой» точкой (1, -7.25).

Случай 3: Прямая проходит через «выколотую» точку (1, -7.25).

Подставляем координаты точки в уравнение прямой \( y = kx \):

\[ -7.25 = k \cdot 1 \]

\[ k = -7.25 \]

Когда \( k = -7.25 \), прямая проходит через «выколотую» точку. Теперь нужно проверить, сколько всего точек пересечения будет при этом \( k \).

Подставим \( k = -7.25 \) в уравнение \( x^2 + kx + 6.25 = 0 \):

\[ x^2 - 7.25x + 6.25 = 0 \]

Умножим на 4, чтобы избавиться от десятичных дробей:

\[ 4x^2 - 29x + 25 = 0 \]

Дискриминант:

\[ D = (-29)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 25 = 841 - 400 = 441 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{441} = 21 \]

Найдём \( x \):

\[ x_1 = \frac{29 + 21}{8} = \frac{50}{8} = 6.25 \]

\[ x_2 = \frac{29 - 21}{8} = \frac{8}{8} = 1 \]

Мы получили два значения \( x \). Одно из них \( x=1 \) — это «выколотая» точка. Второе значение \( x = 6.25 \) является точкой пересечения. Таким образом, при \( k = -7.25 \) прямая имеет ровно одну общую точку с графиком функции.

Случай 4: Прямая проходит через начало координат и точку (1, -7.25), при этом не касаясь параболы.

Мы уже нашли \( k = -7.25 \), при котором прямая проходит через (1, -7.25). Эта прямая имеет одну общую точку с параболой (кроме «выколотой»).

Когда прямая имеет ровно одну общую точку?

1. Когда прямая является касательной к параболе, и точка касания не является «выколотой». Это происходит при \( k = 5 \) и \( k = -5 \).
2. Когда прямая проходит через «выколотую» точку, и эта точка единственная. Мы нашли, что при \( k = -7.25 \) есть две точки \( x=1 \) (выколотая) и \( x=6.25 \). Значит, есть одна общая точка \( x=6.25 \).

Итого, значения \( k \), при которых прямая \( y=kx \) имеет ровно одну общую точку с графиком функции:

\[ k = 5, \; k = -5, \; k = -7.25 \]

Ответ: $$k = 5$$, $$k = -5$$, $$k = -7.25$$