24. Основания ВС и AD трапеции ABCD равны соответственно 2 и 32, BD=8. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Решение:

Дано: Трапеция ABCD, BC || AD. BC = 2, AD = 32, BD = 8. Доказать: \( \triangle CBD \sim \triangle BDA \).

Доказательство:

Рассмотрим треугольники \( \triangle CBD \) и \( \triangle BDA \).

1. Признак подобия по двум углам.
2. Углы при параллельных прямых:
   Так как BC || AD, то углы, накрест лежащие при пересечении секущей BD, равны:
   \( \angle CBD = \angle BDA \).
3. Общий угол или углы при основании:
   Рассмотрим углы \( \angle BCD \) и \( \angle DAB \) (углы при основании трапеции) и углы \( \angle CDB \) и \( \angle DBA \).
4. Второй признак подобия:
   Для подобия \( \triangle CBD \sim \triangle BDA \) нам нужно, чтобы выполнялось одно из условий:
   а) \( \angle CBD = \angle BDA \) и \( \angle BCD = \angle DAB \) (первый признак подобия).
   б) \( \angle CBD = \angle BDA \) и \( \frac{CB}{BD} = \frac{CD}{DA} \) (второй признак подобия).
   в) \( \angle BCD = \angle DBA \) и \( \frac{CB}{DB} = \frac{CD}{DA} \) (второй признак подобия).
   г) \( \frac{CB}{DB} = \frac{BD}{DA} = \frac{CD}{BA} \) (третий признак подобия).

Мы уже знаем, что \( \angle CBD = \angle BDA \) (накрест лежащие углы при параллельных BC и AD и секущей BD).

Проверим отношение сторон:

\( \frac{CB}{BD} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \)

\( \frac{BD}{DA} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} \)

Так как \( \frac{CB}{BD} = \frac{BD}{DA} \) и угол между этими сторонами \( \angle CBD = \angle BDA \) (общий угол для треугольников \( \triangle CBD \) и \( \triangle BDA \) в данном случае, но это не совсем так, это равные углы, но не общий угол, если рассматривать \( \triangle BCD \) и \( \triangle ABD \)).

Давайте переформулируем: мы имеем равенство углов \( \angle CBD = \angle BDA \) и равенство отношений сторон, прилежащих к этим углам, но из разных треугольников. Это НЕ второй признак подобия. Второй признак подобия требует, чтобы отношение сторон и угол МЕЖДУ НИМИ были равны.

Пересмотрим признак подобия:

Мы имеем равенство двух углов: \( \angle CBD = \angle BDA \) (как накрест лежащие).

Чтобы доказать подобие \( \triangle CBD \sim \triangle BDA \), нам нужен ещё один равный угол.

Рассмотрим углы \( \angle BDC \) и \( \angle DBA \). Эти углы также являются накрест лежащими при параллельных BC и AD и секущей BD. Следовательно, \( \angle BDC = \angle DBA \).

Таким образом, в треугольниках \( \triangle CBD \) и \( \triangle BDA \) равны по два угла:

• \( \angle CBD = \angle BDA \) (как накрест лежащие)
• \( \angle BDC = \angle DBA \) (как накрест лежащие)

По первому признаку подобия (по двум углам), треугольники \( \triangle CBD \) и \( \triangle BDA \) подобны.

Что требовалось доказать.