22. Постройте график функции y = x² − 8x + 14, при x ≥ 3; y = x − 2, при x < 3. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Для построения удобно представить первую часть как \(y=(x-4)^2-2\): это ветвь параболы при \(x\ge 3\), с вершиной \((4;-2)\). Вторая часть — прямая \(y=x-2\) при \(x<3\); точка \((3;1)\) ей не принадлежит. При \(x=3\) значение параболы равно −1, поэтому точка \((3;-1)\) принадлежит графику.

Сосчитаем пересечения с горизонтальной прямой \(y=m\).

1. На прямой \(y=x-2\), где \(x<3\), есть ровно одно пересечение при \(m<1\): тогда \(x=m+2<3\).
2. На параболе \(y=(x-4)^2-2\), где \(x\ge 3\), минимум равен −2. При \(m=-2\) есть одно пересечение; при \(-2<m\le -1\) — два; при \(m>-1\) — одно.
3. Если \(m<-2\), суммарно получается одно пересечение. При \(m=-2\) парабола даёт одно, а прямая — ещё одно. При \(-2<m<1\) парабола и прямая вместе дают три пересечения, кроме интервала \(-1<m<1\), где каждая часть даёт по одному. При \(m=-1\) парабола даёт два пересечения, а прямая — ещё одно. При \(m\ge 1\) остаётся одно пересечение с параболой.

Ответ: \(m=-2\) или \(-1<m<1\).