22. Постройте график функции $$y = \begin{cases} x^2 + 4x + 4 & \text{при } x \ge -5, \\ -\frac{45}{x} & \text{при } x < -5 \end{cases}$$ и определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком одну или две общие точки.

Функция задана кусочно. При $$x \ge -5$$ функция $$y = x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$$ является параболой с вершиной в точке $$(-2, 0)$$. При $$x < -5$$ функция $$y = -\frac{45}{x}$$ является гиперболой.

Рассмотрим параболу $$y = (x+2)^2$$ на промежутке $$x \ge -5$$. При $$x = -5$$, $$y = (-5+2)^2 = (-3)^2 = 9$$. Так как вершина параболы находится в точке $$(-2, 0)$$, то минимальное значение $$y$$ равно 0.

Рассмотрим гиперболу $$y = -\frac{45}{x}$$ на промежутке $$x < -5$$. Когда $$x$$ стремится к $$-\infty$$, $$y$$ стремится к 0. Когда $$x = -5$$, $$y = -\frac{45}{-5} = 9$$.

Теперь определим значения $$m$$, при которых прямая $$y = m$$ имеет с графиком одну или две общие точки:
1) Если $$m < 0$$, то прямая $$y = m$$ не пересекает график функции, так как $$y$$ всегда больше или равно 0.
2) Если $$m = 0$$, то прямая $$y = 0$$ касается параболы в вершине $$(-2, 0)$$, поэтому имеет одну общую точку.
3) Если $$0 < m < 9$$, то прямая $$y = m$$ пересекает параболу в двух точках, а гиперболу не пересекает, поэтому имеет две общие точки.
4) Если $$m = 9$$, то прямая $$y = 9$$ пересекает параболу в точке $$(-5, 9)$$ и гиперболу в точке $$(-5, 9)$$, поэтому имеет одну общую точку.
5) Если $$m > 9$$, то прямая $$y = m$$ пересекает параболу в двух точках, а гиперболу не пересекает, поэтому имеет две общие точки.

Ответ: Прямая $$y = m$$ имеет с графиком одну общую точку при $$m = 0$$ и $$m=9$$, и две общие точки при $$0 < m < 9$$ и $$m > 9$$.