23. Отрезки $$AB$$ и $$CD$$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $$CD$$, если $$AB = 24$$, а расстояния от центра окружности до хорд $$AB$$ и $$CD$$ равны соответственно 16 и 12.

Пусть $$O$$ - центр окружности, $$AB$$ и $$CD$$ - хорды, $$OM \perp AB$$ и $$ON \perp CD$$, где $$M$$ и $$N$$ - середины хорд $$AB$$ и $$CD$$ соответственно. Тогда $$OM = 16$$, $$ON = 12$$, $$AB = 24$$. Найдем радиус окружности $$R$$.
Так как $$M$$ - середина $$AB$$, то $$AM = \frac{AB}{2} = \frac{24}{2} = 12$$. В прямоугольном треугольнике $$OMA$$ по теореме Пифагора:
$$R^2 = OM^2 + AM^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400$$
$$R = \sqrt{400} = 20$$
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ONC$$. $$ON = 12$$, $$OC = R = 20$$. По теореме Пифагора:
$$NC^2 = OC^2 - ON^2 = 20^2 - 12^2 = 400 - 144 = 256$$
$$NC = \sqrt{256} = 16$$
Так как $$N$$ - середина $$CD$$, то $$CD = 2 cdot NC = 2 cdot 16 = 32$$.
Ответ: Длина хорды $$CD$$ равна 32.