224. Найдите корни биквадратного уравнения: а) $x^4-25x^2+144=0\text{;} б) \(y^4+14y^2+18=0\text{;} в) \(x^4-4x^2+4=0\text{;} г) \(t^4-2t^2-3=0\text{;} д) \(2x^4-9x^2+4=0\text{;} е) \(5y^4-5y^2+2=0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 224. Найдите корни биквадратного уравнения: а) \(x^4-25x^2+144=0\text{;} б) \(y^4+14y^2+18=0\text{;} в)…$ Фото задания

Accepted Answer

Вводим замену $z$, равную квадрату переменной. Оставляем только неотрицательные значения $z$, затем находим исходную переменную.

а) $z=x^2$: $z^2-25z+144=0$, то есть $(z-9)(z-16)=0$. Поэтому $x=\pm3,\pm4$.

б) $z=y^2$: $z^2+14z+18=0$. Корни $z=-7\pm\sqrt{31}$ отрицательны, значит, действительных корней уравнения нет.

в) $z=x^2$: $z^2-4z+4=0$, откуда $(z-2)^2=0$. Поэтому $x=\pm\sqrt2$.

г) $z=t^2$: $z^2-2z-3=0=(z-3)(z+1)$. Допустимо $z=3$, поэтому $t=\pm\sqrt3$.

д) $z=x^2$: $2z^2-9z+4=0=(2z-1)(z-4)$. Поэтому $x=\pm\frac{1}{\sqrt2},\pm2$, или $x=\pm\frac{\sqrt2}{2},\pm2$.

е) При $z=y^2$ получаем $5z^2-5z+2=0$. Дискриминант $D=25-40=-15<0$, поэтому действительных корней нет.

Ответ: а) $\pm3,\pm4$; б) корней нет; в) $\pm\sqrt2$; г) $\pm\sqrt3$; д) $\pm\frac{\sqrt2}{2},\pm2$; е) корней нет.

224. Найдите корни биквадратного уравнения: а) \(x^4-25x^2+144=0\text{;} б) \(y^4+14y^2+18=0\text{;} в) \(x^4-4x^2+4=0\text{;} г) \(t^4-2t^2-3=0\text{;} д) \(2x^4-9x^2+4=0\text{;} е) \(5y^4-5y^2+2=0\).