23. Постройте график функции \(y=\dfrac{(x-9)(x^2-9)}{x^2-6x-27}\) и определите, при каких значениях \(k\) построенный график не будет иметь общих точек с прямой \(y=kx\).

Разложим многочлены на множители:

\(x^2-9=(x-3)(x+3)\), \(x^2-6x-27=(x-9)(x+3)\).

Поэтому при \(x\ne9,-3\):

\(y=\dfrac{(x-9)(x-3)(x+3)}{(x-9)(x+3)}=x-3\).

График — прямая \(y=x-3\) с выколотыми точками, соответствующими исключённым значениям: \((9;6)\) и \((-3;-6)\).

Пересечения с прямой \(y=kx\) должны удовлетворять \(x-3=kx\), то есть \((1-k)x=3\). При \(k=1\) решений нет, значит, общих точек нет.

Если \(k\ne1\), единственный кандидат на абсциссу пересечения — \(x=\dfrac{3}{1-k}\). Он исключён из графика, если равен \(9\) или \(-3\):

\(\dfrac{3}{1-k}=9\Rightarrow k=\dfrac23\); \(\dfrac{3}{1-k}=-3\Rightarrow k=2\).

В обоих случаях единственная точка пересечения прямых совпадает с выколотой точкой графика, поэтому общих точек тоже нет.

Ответ: \(k=1\), \(k=\dfrac23\) или \(k=2\).