23. Теплоход проходит некоторое расстояние по течению реки за 2 ч, а против течения — за 3 ч. За сколько часов это же расстояние проплывет плот?

Решение:

Пусть \( S \) — расстояние, \( v_т \) — скорость теплохода в стоячей воде, \( v_р \) — скорость течения реки. Скорость теплохода по течению: \( v_т + v_р \), против течения: \( v_т - v_р \).

1. Скорость теплохода по течению: \( v_т + v_р = \frac{S}{2} \).
2. Скорость теплохода против течения: \( v_т - v_р = \frac{S}{3} \).
3. Сложим два уравнения: \( (v_т + v_р) + (v_т - v_р) = \frac{S}{2} + \frac{S}{3} \).
4. \( 2v_т = \frac{3S + 2S}{6} = \frac{5S}{6} \).
5. Скорость теплохода в стоячей воде: \( v_т = \frac{5S}{12} \).
6. Найдем скорость течения: \( v_р = \frac{S}{2} - v_т = \frac{S}{2} - \frac{5S}{12} = \frac{6S - 5S}{12} = \frac{S}{12} \).
7. Скорость плота равна скорости течения реки, то есть \( v_п = v_р = \frac{S}{12} \).
8. Время, за которое плот проплывет расстояние \( S \): \( t = \frac{S}{v_п} = \frac{S}{\frac{S}{12}} = 12 \) часов.

Ответ: 12 часов.