23. В треугольнике ABC угол C равен 90°, радиус вписанной окружности равен 3. Найдите площадь треугольника ABC, если AB = 15.

Обозначим катеты через \(a\) и \(b\), а гипотенузу через \(c=15\). Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности равен \(r=(a+b-c)/2\).

1. Подставим данные: \(3=(a+b-15)/2\), откуда \(a+b=21\).
2. По теореме Пифагора \(a^2+b^2=15^2=225\). Возведём сумму катетов в квадрат: \((a+b)^2=a^2+b^2+2ab\).
3. Получаем \(441=225+2ab\), значит \(ab=108\). Площадь равна половине произведения катетов: \(S=ab/2=54\).

Ответ: 54.