Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 24. Окружность касается стороны AB треугольника ABC, у которого ∠C = 90°, и продолжений его сторон AC и BC за точки A и B…Фото задания

Ответ:

Пусть окружность касается прямой \(AB\) в точке \(T\), продолжения \(AC\) — за точкой \(A\) в точке \(X\), а продолжения \(BC\) — за точкой \(B\) в точке \(Y\). Обозначим радиус окружности через \(r\).

  1. Из одной точки к окружности проведены две касательные, поэтому \(AT=AX\), \(BT=BY\), а из точки \(C\): \(CX=CY\).
  2. Так как \(X,A,C\) лежат на одной прямой и \(Y,B,C\) — на другой, имеем \(AX=AC+CX\) и \(BY=BC+CY\).
  3. Следовательно, \(AB=AT+TB=AX+BY=AC+BC+2CX\). Из равенства \(CX=CY\) и прямого угла при \(C\) видно, что расстояние от \(C\) до точки касания на каждой из двух перпендикулярных сторон равно радиусу: точка касания окружности с прямой, проходящей через центр перпендикулярно радиусу, отстоит от вершины прямого угла на \(r\). Поэтому \(CX=CY=r\).
  4. Тогда \(AB=AC+BC+2r\), откуда периметр \(P=AB+AC+BC=2(AC+BC+r)\). Чтобы связать это с диаметром, используем прямоугольный треугольник с катетами \(AC+r\) и \(BC+r\): отрезок между точками касания на продолжениях катетов равен диаметру, а его квадрат равен \((AC+BC+2r)^2\) по касательным? Это не следует из указанных равенств; проверим геометрию через координаты.

Расположим \(C=(0,0)\), \(A=(a,0)\), \(B=(0,b)\). Окружность, касающаяся обеих прямых-катетов с внешней стороны за вершинами, имеет центр \((r,r)\) либо соответствующий внешний квадрант; условие касания прямой \(AB\) требует \(|r(a+b)-ab|/\sqrt{a^2+b^2}=r\). Это условие само по себе не даёт тождества \(P=2r\): без дополнительных уточнений расположения/выбора окружности утверждение, как прочитано, неверно. Например, при \(a=3,b=4\) вписанная окружность имеет радиус 1, тогда как периметр равен 12, а диаметр — 2.

Вероятно, на фотографии обрезана существенная часть условия (например, речь идёт об окружности, касающейся стороны и продолжений сторон в определённой конфигурации, либо о другой величине). Пришлите, пожалуйста, правый край строки целиком: без него доказать заявленное равенство нельзя.