25. Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM.

Введём координаты: \(B=(0,0)\), \(C=(2,0)\), \(A=(u,v)\), где \(v\ne0\). Тогда середина \(AC\) — точка \(M=((u+2)/2,v/2)\).

1. Поскольку \(K\) — середина \(BM\), \(K=((u+2)/4,v/4)\).
2. Точка на прямой \(AK\) имеет вид \(A+t(K-A)\). Её координата \(y\) равна \(v+t(v/4-v)\). При пересечении с \(BC\) имеем \(y=0\), откуда \(t=4/3\), а абсцисса точки пересечения равна \(2/3\). Значит, \(P=(2/3,0)\).
3. По формуле площади через координаты \(S_{ABK}=|u(v/4)-v((u+2)/4)|/2=|v|/4\).
4. Площадь четырёхугольника \(KPCM\), по формуле «шнуровки» для его вершин в порядке \(K,P,C,M\), равна \(5|v|/12\).
5. Следовательно, \(S_{ABK}:S_{KPCM}=(|v|/4):(5|v|/12)=3:5\).

Ответ: \(3:5\).