231. Решить неравенства: 1) $2^{-x^2+8x}<4$; 2) $\left(\frac79\right)^{2x^2-3x}\ge\frac97$; 3) $\left(\frac{13}{11}\right)^{x^2-8x}<\frac{121}{169}$; 4) $\left(2\frac23\right)^{6x^2+x}\le7\frac19$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 231. Решить неравенства: 1) $2^{-x^2+8x}<4$; 2) $\left(\frac79\right)^{2x^2-3x}\ge\frac97$; 3)…$ Фото задания

Accepted Answer

$4=2^2$, поэтому $-x^2+8x<2$, или $x^2-8x+2>0$. Корни соответствующего квадратного трёхчлена: $4\pm\sqrt{14}$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется вне корней.
Ответ к пункту: $x<4-\sqrt{14}$ или $x>4+\sqrt{14}$.
$\frac97=\left(\frac79\right)^{-1}$. Основание меньше 1, поэтому $2x^2-3x\le-1$, то есть $(2x-1)(x-1)\le0$.
Ответ к пункту: $\frac12\le x\le1$.
$\frac{121}{169}=\left(\frac{13}{11}\right)^{-2}$. Основание больше 1, поэтому $x^2-8x<-2$, или $x^2-8x+2<0$. Корни — $4\pm\sqrt{14}$, и трёхчлен меньше нуля между ними.
Ответ к пункту: \(4-\sqrt{14}
$2\frac23=\frac83$, а $7\frac19=\frac{64}{9}=\left(\frac83\right)^2$. Основание больше 1, значит $6x^2+x\le2$, то есть $6x^2+x-2\le0$. Разложим: $(3x+2)(2x-1)\le0$.
Ответ к пункту: $-\frac23\le x\le\frac12$.

Ответ: 1) $( -\infty,4-\sqrt{14})\cup(4+\sqrt{14},+\infty)$; 2) $[\frac12,1]$; 3) $(4-\sqrt{14},4+\sqrt{14})$; 4) $[-\frac23,\frac12]$.

231. Решить неравенства: 1) \(2^{-x^2+8x}<4\); 2) \(\left(\frac79\right)^{2x^2-3x}\ge\frac97\); 3) \(\left(\frac{13}{11}\right)^{x^2-8x}<\frac{121}{169}\); 4) \(\left(2\frac23\right)^{6x^2+x}\le7\frac19\).