233. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Биссектриса внешнего угла при вершине B, пусть она будет BE. Внешний угол при вершине B равен 180° - ∠ABC. Так как BE - биссектриса этого угла, то ∠EBC = (180° - ∠ABC) / 2. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, т.е. ∠BAC = ∠BCA. Также, сумма углов треугольника равна 180°, т.е. ∠ABC + ∠BAC + ∠BCA = 180°, или ∠ABC + 2*∠BAC = 180°. Тогда ∠BAC = (180° - ∠ABC) / 2. Мы видим, что ∠EBC = ∠BAC. Это накрест лежащие углы при прямых BE и AC и секущей AB. Следовательно, прямые BE и AC параллельны.