239. (Для работы в парах.) Решите уравнение: а) 1/(x − 4) + 1/(x − 2) = 1/(x + 4) + 1/(x − 5); б) 1/(x + 1) + 1/(x + 3) = 1/(x + 28) + 1/x. 1) Обсудите, в каком виде удобно представить уравнение в каждом случае, и выполните соответствующие преобразования. 2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их. 3) Проверьте друг у друга, правильно ли найдены корни уравнения, и исправьте ошибки, если они допущены.

а) ОДЗ: \(x\ne4,2,-4,5\). Суммы дробей удобно привести к общим знаменателям:

\[\frac{1}{x-4}+\frac{1}{x-2}=\frac{2x-6}{(x-4)(x-2)},\qquad \frac{1}{x+4}+\frac{1}{x-5}=\frac{2x-1}{(x+4)(x-5)}.\]

Знаменатели одинаковы, поскольку \((x-4)(x-2)=(x+4)(x-5)=x^2-6x+8\)? Проверим раскрытием: \((x-4)(x-2)=x^2-6x+8\), а \((x+4)(x-5)=x^2-x-20\); они не одинаковы. Поэтому перемножаем крест-накрест:

\[(2x-6)(x^2-x-20)=(2x-1)(x^2-6x+8).\]

После раскрытия скобок получаем \(x^3+3x^2-76x+112=0\). Это кубическое уравнение; разложение на множители: \((x-2)(x^2+5x-56)=0\), то есть \((x-2)(x+?)(x+?)\). Проверка деления даёт остаток: подстановка \(x=2\) в кубический многочлен равна \(8+12-152+112=-20\), поэтому такое разложение неверно. Решим корректно: исходное уравнение после перемножения даёт \(2x^3-8x^2-?\).

Раскрываем точно: левая часть \(2x^3-8x^2-94x+120\), правая часть \(2x^3-13x^2+10x+8\). Следовательно, \(5x^2-104x+112=0\). Тогда

\[x=\frac{104\pm\sqrt{104^2-4\cdot5\cdot112}}{10}=\frac{52\pm2\sqrt{519}}5.\]

Оба значения допустимы.

б) ОДЗ: \(x\ne-1,-3,-28,0\). Приводим суммы к общим знаменателям:

\[\frac{2(x+2)}{(x+1)(x+3)}=\frac{2(x+14)}{x(x+28)}.\]

Сокращаем на 2 и перемножаем крест-накрест:

\[(x+2)x(x+28)=(x+14)(x+1)(x+3),\]

\[12x^2-3x-42=0,\qquad 4x^2-x-14=0,\qquad (x-2)(4x+7)=0.\]

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: а) \(x=\frac{52-2\sqrt{519}}5\) или \(x=\frac{52+2\sqrt{519}}5\); б) \(x=2\) или \(x=-\frac74\).