24.2. В треугольнике ABC BC = BA = 10, AC = 8. Пусть AA₁ и CC₁ — биссектрисы треугольника. Найдите отрезок A₁C₁.

По теореме о биссектрисе \(BA_1:A_1C=BA:AC=10:8=5:4\). Значит, \(BA_1=\frac{5}{9}\cdot10=\frac{50}{9}\).

Треугольник симметричен относительно перпендикуляра к AC, проведённого через середину AC. Поэтому биссектрисы из A и C, а также точки A₁ и C₁ симметричны относительно этой оси.

Высота равнобедренного треугольника делит основание пополам: расстояние от A до оси симметрии равно 4. Доля пути от A до A₁ по стороне BC равна \(BA_1/BC=5/9\); отсюда горизонтальная координата A₁ относительно оси равна \(4-\frac{5}{9}\cdot4=\frac{16}{9}\). Для C₁ координата противоположна, поэтому \(A_1C_1=2\cdot\frac{16}{9}=\frac{32}{9}\).

Ответ: \(\frac{32}{9}\).