24. Биссектрисы углов B и E параллелограмма BCDE пересекаются в точке A, лежащей на стороне CD. Докажите, что A — середина стороны CD.

Пусть \(AB\) и \(AE\) — биссектрисы углов \(B\) и \(E\) параллелограмма \(BCDE\).

В параллелограмме противоположные стороны параллельны, поэтому \(BC\parallel DE\), а углы \(B\) и \(E\), прилежащие к стороне \(BE\), являются дополнительными:

\[\angle CBE+\angle BED=180^\circ.\]

Поскольку \(AB\) и \(AE\) — биссектрисы этих углов, угол между ними равен:

\[\angle BAE=\frac12\angle CBE+\frac12\angle BED=90^\circ.\]

Кроме того, из параллельности \(BC\parallel DE\) следует, что углы между биссектрисами и параллельными сторонами равны. Поэтому треугольники \(ABC\) и \(AED\) имеют два равных угла, а также \(BC=DE\) как противоположные стороны параллелограмма. Следовательно, треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам.

Отсюда соответствующие стороны равны:

\[AC=AD.\]

Так как точка \(A\) лежит на стороне \(CD\), равенство \(AC=AD\) означает, что \(A\) — середина отрезка \(CD\).

Ответ: \(AC=AD\), поэтому \(A\) — середина стороны \(CD\).