25. Через середину M медианы AP треугольника ABC и вершину B проведена прямая, пересекающая сторону AC в точке K. Найдите отношение площади треугольника ABM к площади четырёхугольника CPMK.

Question

Вопрос:

Фото задания

25. Через середину M медианы AP треугольника ABC и вершину B проведена прямая, пересекающая сторону AC в точке K. Найдите отношение площади треугольника ABM к площади четырёхугольника CPMK.

Accepted Answer

Пусть \(P\) — середина стороны \(BC\), так как \(AP\) — медиана, а \(M\) — середина медианы \(AP\).

Выберем координаты: \(A=(0,0)\), \(C=(1,0)\), \(B=(u,v)\). Тогда

\[P=\left(\frac{u+1}{2},\frac v2\right),\qquad M=\left(\frac{u+1}{4},\frac v4\right).\]

Прямая через \(B\) и \(M\) пересекает ось \(AC\) в точке \(K\). Из уравнения прямой получается:

\[K=\left(\frac13,0\right).\]

Площадь треугольника \(ABM\):

\[S_{ABM}=\frac12\left|\det(B,M)\right|=\frac{|v|}{8}.\]

Площадь всего треугольника \(ABC\) равна \(\frac{|v|}{2}\). Четырёхугольник \(CPMK\) занимает оставшуюся часть треугольника после удаления треугольника \(ABM\):

\[S_{CPMK}=S_{ABC}-S_{ABM}=\frac{|v|}{2}-\frac{|v|}{8}=\frac{3|v|}{8}.\]

Следовательно,

\[\frac{S_{ABM}}{S_{CPMK}}=\frac{|v|/8}{3|v|/8}=\frac13.\]

Ответ: \(S_{ABM}:S_{CPMK}=1:3\).