24. Дан треугольник ABC и отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ — его высоты, причём AA₁ : BB₁ : CC₁ = 6 : 4 : 3, а периметр треугольника ABC равен 99. Найдите длину наименьшей стороны треугольника ABC.

Площадь треугольника можно выразить через любую сторону и проведённую к ней высоту: \(S=\frac12 a h_a=\frac12 b h_b=\frac12 c h_c\). Поэтому стороны обратно пропорциональны соответствующим высотам.

Из отношения высот \(6:4:3\) получаем отношение сторон \(BC:CA:AB=\frac16:\frac14:\frac13=2:3:4\).

Сумма частей равна \(2+3+4=9\), значит одна часть равна \(99:9=11\). Стороны равны 22, 33 и 44; наименьшая — 22.

Ответ: 22.