24. Окружности с центрами в точках O и Q не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Диаметры этих окружностей относятся как k:l. Докажите, что внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении k:l.

Пусть радиусы окружностей равны \(r_1\) и \(r_2\), а внутренняя общая касательная пересекает отрезок \(OQ\) в точке \(T\). Радиусы, проведённые к точкам касания, перпендикулярны касательной.

Рассмотрим расстояние до касательной вдоль отрезка \(OQ\). Центры находятся по разные стороны от неё: расстояние от \(O\) до касательной равно \(r_1\), а от \(Q\) — \(r_2\). Поэтому точка пересечения делит отрезок в отношении этих расстояний: \(OT:TQ=r_1:r_2\). Диаметры равны удвоенным радиусам, следовательно, \(r_1:r_2=k:l\).

Доказано: \(OT:TQ=k:l\).