Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 25. В треугольнике ABC на медиане BM отмечена точка K так, что BK:KM = 4:5. Прямая AK пересекает сторону BC в точке P.…Фото задания

Ответ:

Для вычисления отношения площадей удобно выбрать координаты: \(B=(0;0)\), \(A=(1;0)\), \(C=(0;1)\). Такой выбор сохраняет отношения площадей и деление отрезков.

  1. Так как \(M\) — середина \(AC\), получаем \(M=(1/2;1/2)\). Из \(BK:KM=4:5\) следует, что \(K\) находится на \(4/9\) пути от \(B\) к \(M\), то есть \(K=(2/9;2/9)\).
  2. Прямая \(AK\) параметрически задаётся точками \((1;0)+t(-7/9;2/9)\). На стороне \(BC\) координата \(x=0\), поэтому \(t=9/7\) и \(P=(0;2/7)\).
  3. Площадь \(CKP\): основание \(CP=1-2/7=5/7\), высота к нему равна \(2/9\). Значит, \(S_{CKP}=\frac12\cdot\frac57\cdot\frac29=\frac5{63}\).
  4. Площадь \(AKM\) по координатам равна половине модуля определителя векторов \(AK=(-7/9;2/9)\) и \(AM=(-1/2;1/2)\): \(S_{AKM}=\frac12\left|(-7/9)(1/2)-(2/9)(-1/2)\right|=\frac5{36}\).
  5. Следовательно, \(\frac{S_{CKP}}{S_{AKM}}=\frac{5/63}{5/36}=\frac47\).

Ответ: \(4:7\).