23. Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 36, CD = 48, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 24.

Решение:

Пусть O — центр окружности, R — её радиус.

Для хорды AB:

• Длина хорды \( AB = 36 \).
• Расстояние от центра до хорды \( d_{AB} = 24 \).
• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, половиной хорды и расстоянием от центра до хорды. Половина хорды \( \frac{AB}{2} = \frac{36}{2} = 18 \).
• По теореме Пифагора: \( R^2 = (\frac{AB}{2})^2 + d_{AB}^2 \)
• \( R^2 = 18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900 \)
• \( R = \sqrt{900} = 30 \). Радиус окружности равен 30.

Для хорды CD:

• Длина хорды \( CD = 48 \).
• Радиус окружности \( R = 30 \).
• Половина хорды \( \frac{CD}{2} = \frac{48}{2} = 24 \).
• Пусть \( d_{CD} \) — расстояние от центра до хорды CD. По теореме Пифагора: \( R^2 = (\frac{CD}{2})^2 + d_{CD}^2 \)
• \( 30^2 = 24^2 + d_{CD}^2 \)
• \( 900 = 576 + d_{CD}^2 \)
• \( d_{CD}^2 = 900 - 576 = 324 \)
• \( d_{CD} = \sqrt{324} = 18 \).

Ответ: 18.