24. Сторона LM параллелограмма KLMN вдвое больше стороны KL. Точка P — середина стороны KN. Докажите, что LP — биссектриса угла KLM.

Пусть \(KL=a\), тогда \(LM=2a\). Введём векторы с началом в точке \(L\): \(\overrightarrow{LK}=\mathbf{u}\), \(\overrightarrow{LM}=\mathbf{v}\). Их длины равны \(a\) и \(2a\) соответственно.

В параллелограмме \(\overrightarrow{KN}=\overrightarrow{LM}=\mathbf{v}\). Поскольку \(P\) — середина \(KN\), имеем \(\overrightarrow{KP}=\frac12\mathbf{v}\). Поэтому \(\overrightarrow{LP}=\overrightarrow{LK}+\overrightarrow{KP}=\mathbf{u}+\frac12\mathbf{v}\).

Единичные векторы вдоль лучей \(LK\) и \(LM\) равны \(\frac{\mathbf{u}}a\) и \(\frac{\mathbf{v}}{2a}\). Их сумма \(\frac1a(\mathbf{u}+\frac12\mathbf{v})\) направлена так же, как \(\overrightarrow{LP}\). По свойству биссектрисы её направление совпадает с суммой единичных векторов сторон угла. Следовательно, \(LP\) делит угол \(KLM\) пополам.

Что и требовалось доказать.