25. В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 100, а площадь равна 375, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её большего основания.

Обозначим основания трапеции через \(a\) (большее) и \(b\), боковую сторону — через \(l\), высоту — через \(h\). Для четырёхугольника, в который можно вписать окружность, суммы длин противоположных сторон равны: \(a+b=2l\). Из периметра \(a+b+2l=100\) получаем \(a+b=50\) и \(l=25\).

По формуле площади \(\frac{a+b}{2}h=375\), поэтому \(25h=375\), откуда \(h=15\). В равнобедренной трапеции горизонтальная проекция каждой боковой стороны равна \(d=\frac{a-b}{2}\). Из прямоугольного треугольника: \(d^2+l^2=h^2\) — точнее, \(l^2=h^2+d^2\). Поэтому \(d=\sqrt{25^2-15^2}=20\), а \(a-b=40\). Решая систему \(a+b=50\), \(a-b=40\), находим \(a=45\), \(b=5\).

Точка пересечения диагоналей делит высоту в отношении оснований. Расстояние от большего основания до точки пересечения равно \(h\cdot\frac{a}{a+b}=15\cdot\frac{45}{50}=13{,}5\).

Ответ: 13,5.