24. Точка N — середина стороны BC ромба ABCD, а AN = DN. Докажите, что ромб ABCD является квадратом.

Обозначим вектора \(\overrightarrow{BA}=\mathbf a\) и \(\overrightarrow{BC}=\mathbf c\). Поскольку ABCD — ромб, он является параллелограммом, поэтому \(\overrightarrow{BD}=\mathbf a+\mathbf c\), а длины его соседних сторон равны: \(|\mathbf a|=|\mathbf c|\).

Так как N — середина BC, имеем \(\overrightarrow{BN}=\frac12\mathbf c\). Следовательно, \(\overrightarrow{AN}=\frac12\mathbf c-\mathbf a\), а \(\overrightarrow{DN}=\frac12\mathbf c+\mathbf a\).

По условию длины этих векторов равны. Возведём их в квадрат: \(|\mathbf a-\frac12\mathbf c|^2=|\mathbf a+\frac12\mathbf c|^2\). После раскрытия скобок получаем \(\mathbf a\cdot\mathbf c=0\), то есть \(AB\perp BC\).

Ромб с прямым углом является квадратом.

Доказано.